利用时域（空域）卷积定理进行图像滤波（Matlab 实现）（一）

卷积定理： f ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ f(t) * g(t) = \int^{\infty}_{-\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau f(t)∗g(t)=∫−∞∞​f(τ)g(t−τ)dτ

求傅里叶变换： F [ f ( t ) ∗ g ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ ] e − j w t d t   【 交 换 积 分 顺 序 】 = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) [ ∫ − ∞ ∞ g ( t − τ ) e − j w t d t ] d τ   【 时 移 定 理 】 = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) G ( w ) e − j w τ d τ = F ( w ) ⋅ G ( w ) = F [ f ( t ) ] ⋅ F [ g ( t ) ] \begin{aligned} \mathcal {F}[f(t) * g(t)] ; = \int^{\infty}_{-\infty} \bigg[\int^{\infty}_{-\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\bigg] e^{-jwt}dt \ 【交换积分顺序】\\ ; = \int^{\infty}_{-\infty}f(\tau) \bigg[\int^{\infty}_{-\infty}g(t-\tau)e^{-jwt}dt\bigg] d\tau \ 【时移定理】\\ ; = \int^{\infty}_{-\infty}f(\tau)G(w)e^{-jw\tau}d\tau \\ ; = F(w)\cdot G(w) \\ ; = \mathcal{F}[f(t)] \cdot \mathcal{F}[g(t)] \end{aligned} F[f(t)∗g(t)]​=∫−∞∞​[∫−∞∞​f(τ)g(t−τ)dτ]e−jwtdt 【交换积分顺序】=∫−∞∞​f(τ)[∫−∞∞​g(t−τ)e−jwtdt]dτ 【时移定理】=∫−∞∞​f(τ)G(w)e−jwτdτ=F(w)⋅G(w)=F[f(t)]⋅F[g(t)]​

得证。

同理，二维傅里叶变换也应当满足该定理： F [ f ( x , y ) ∗ g ( x , y ) ] = F [ f ( x , y ) ] ⋅ F [ g ( x , y ) ] \mathcal{F}[f(x,y)*g(x,y)]=\mathcal{F}[f(x,y)]\cdot\mathcal{F}[g(x,y)] F[f(x,y)∗g(x,y)]=F[f(x,y)]⋅F[g(x,y)]

代码：

结果显示： 进一步查看图像矩阵像素的灰度值，以 Laplacian 滤波图像为例：

使用定理计算的图像矩阵： 使用 conv2 函数计算的图像矩阵： 不考虑外围像素，中间绝大部分的像素灰度完全一样，但是在水平和竖直方向上均有一个像素的偏移，要想解决这个问题，我可以对代码的第 10、11 行进行一下更改：

将滤波器模板中心像素调到矩阵的左上角，问题就解决了。 重新 Run 代码，图片效果差不多，就不再展示了，下面看看更改后的图像矩阵：

使用定理计算的图像矩阵： 使用 conv2 函数计算的图像矩阵： Perfect !!!

由此证明了时域（空域）卷积定理在图像中也是完全成立的。可是问题又来了，用定理做这么麻烦，为何不采用卷积函数一条命令就解决呢。其实我之前也怎么想，可是最近正在看 GP-GAN 的论文及相关代码，发现在解 Gaussian-Possian Equation 时，要对损失函数进行优化，具体的代码实现就采取了这种方式。在进行了傅里叶变换（原文中还涉及离散余弦变换，原理见 利用时域（空域）卷积定理进行图像滤波（Matlab 实现）（二））后，我们能将卷积操作转化为乘积操作，然后在频域上进行优化就能求出使损失函数最小的解析解，简直不能再巧妙了。